采樣混疊和車輪效應

大多數采集數字信號的人們已經聽說或者已經理解了為了避免混疊，采樣頻率和能觀察到的最高頻率之間的關系。對于那些可能不熟悉混疊現象的人來說，下面的說明將有助于解釋這個現象。

大多數人都知道采樣頻率與混疊的關系，這通常意味著在他們處理等時間采樣，數字化的幅值是以相同的時間增量測量得到時，就已經意識到這個關系了。而處理與階次相關的關系時，人們卻不那么熟練。階次是軸轉速的倍數，比如二階是軸當前轉速的嚴格二倍。接下來我們將考慮為了防止混疊，旋轉軸的采樣速率與最高階次的關系。

這個關系依賴我們以何種方式進行采樣，因為我們可以等時間采樣，或者等角度采樣。我們將考慮這兩種采樣形式，但首先讓我們回想一下，為了避免混疊，常規的等時間采樣與最高能觀測到的頻率之間的關系，這個關系稱為香農定理。

常規的混疊

對于常規的基于時間的采樣通常采用相同的時間步長，我們稱之為采樣速率（也稱為采樣頻率）S，單位為樣本點數/秒。此時，對應的數字化時間間隔為1/S。出于方便，我們將這個時間增量用Δt表示，因此Δt=1/S秒。

對于常規的時域信號處理，我們知道時間與頻率的關系，也就是如果我們對一個時域信號進行傅立葉變換，那么將得到其相對應的頻譜。

香農定理表明，如果采樣速率為S，在不引起混疊的情況下，能觀測到的最高頻率為（S/2）Hz。（S/2）稱為乃奎斯特（Nyquist）頻率。在這提及的混疊含義和混疊得到的結果在接下來的有說明。

因此，如果時間步長為Δt，那么能觀測到的最高頻率fmax定義如下

這是時間步長（用秒表示）與最高頻率（用Hz表示）的關系。這個頻率并不是我們原先指定的頻率單位“周期數/秒”，而是Hz的基本單位1/秒。

基于時間采樣的最高階次

首先回想一下，階次是軸轉速的倍數。因此，如果一根軸以R
rpm（轉/分鐘），那么第N階次相應于轉速為（N*R）rpm。因此，如果軸的轉速為1000rpm，那么第二階次是2000rpm，但是如果軸的轉速為1500rpm，那么第二階次對應的轉速為3000rpm。階次獨立于軸的實際轉速，他們是當前軸轉速的倍數或者分數。

階次與頻率的關系，假設轉速為R rpm，那么

將這個關系代入到基于時間的關系式中，為了防止混疊，可以發現

K*(R/60)=S/2

那么，當使用以一定的速率S（采樣點數/秒）基于時間采樣時，最高階Kmax為

等角度采樣或同步采樣

對于等角度采樣，我們考慮每轉采集N個點，通常使用齒輪盤或者類似的結構，每轉給定N個齒。這個采樣過程同樣獨立于實際軸的轉速。因此，我們的采樣速率是每轉N個樣本點（或數據點）。

對于等角度采樣，與“轉速”域相對應的是階次域。也就是說如果我們對等角度采樣的數據進行傅立葉變換，那么將得到階次譜。

直接應用香農定理，我們得到簡化的結果，也就是當我們以每圈采集N個點進行采樣時，在不引起混疊的情況下能得到的最高階次Omax為

Omax=N/2

順便提及一下，如果我們用傅立葉分析一個精確的轉動圈數P，那么得到的階次間距是1/P階。

空間采樣

如果我們在空間上以等距離進行采樣，那么相應的域是波數(K=2π/λ，K為波數，λ為波長，波長為空間上相鄰兩波峰或波谷之間的距離，這里的波長不同于聲波的波長)，這跟時間上的采樣是完全一樣的應用。因此，如果我們在公路表面以每米L個點進行空間上的采樣，那么在不引起混疊的情況下，我們能觀測到的最高波數ωmax為 

ωmax=L/2

當我們在進行模態測試分析時，MAC矩陣非對角元素很大的一種可能情況就是空間混疊。也就是說，模態測試時，測點數太少，不足以區分兩階或兩階以上的模態振型，導致了空間上的混疊。因此，在模態測試中，波長是指模態振型中相鄰兩個波峰或波谷之間的距離。

混疊演示

用于演示混疊現象的經典例子之一是所謂的“車輪效應”。在影片里當馬車越走越快時，馬車車輪似乎越走越慢，然后甚至朝反方向運轉。如果你想看一個可視的車輪效應演示案例，可以點擊下面的鏈接。

剛開始輪輻逆時針運轉，然后逐漸變慢并開始順時針運轉。這個例子用于描述混疊現象是特別適合的。移動小三角‘標識’可用于區分“非混疊”區域。因此，人們可以看到車輪旋轉部分和其他不動的部分，這樣是最讓人印象深刻和使人信服的。三角滑塊可手動控制車輪轉速。

Wagon-wheeleffect from Michael’s “Optical Illusions & Visual Phenomena”(http://www.michaelbach.de/ot/mot_wagonWheel/index.html)

另外一個好的混疊例子是轉動的吊扇，小時候都見過家中的吊扇，當轉速越來越快時，出現的現象是先順時針旋轉，然后靜止，然后逆時針旋轉。這是因為人眼在看物體時，人眼也有一定的采樣速率。當人眼的采樣速率跟不上越來越快的轉速時，就會出現混疊現象。靜止不動時的轉速對應的頻率就是人眼采樣的速率。

另一個解釋混疊的常見形式是展示一個高頻正弦波用低的采樣速率進行采樣得到的結果。如果采樣頻率太低，我們將看不到圖中的紅色波形，而只能采集到圖中的藍色點，這些點已經混疊成了一個更低頻的信號。

文章來源：模態空間