真正搞懂了頻率，Hz&階次之間的關系了嗎？

數字化信號最普遍的形式是使用等時間采樣方法。也就是說數據是按恒定的速率進行采樣，這個速率一般指每秒采集多少個樣本點。奈奎斯特頻率，fN，定義為采樣速率的一半。即fN=采樣速率/2。香農采樣定理告訴我們，如果正在采樣的信號的頻率成分少于fN，那么采樣將不存在混疊，采樣后的信號是有效的數字化信號。而且，采樣定理確保此時采樣后的信號具有全部可用信息。

如果我們傅立葉分析一個信號，x(t)，那么，我們將得到這個信號在不同頻率處的分量。這個過程完全是可逆的。也就是說，如果我們有信號x(t)，我們能得到X(f)。類似地，如果我們有信號X(f)，我們也能得到x(t)。有時，這個過程可以寫成如下形式

x(t)?X(f)

作為一個示例，考慮測試的信號由2個正弦波組成。第一個正弦波的幅值為1.0V，頻率為60Hz，相位為0。第二個信號幅值為0.5V，頻率為180Hz，相位為45度。我們的采樣速度為每秒2048個樣本點，采集2s的數據。選擇采樣率為2048，可確保完全壓譜線采樣，這雖然不是必須的，但它可避免信號泄漏。采集到的部分信號如圖1所示。

圖1   2個正弦波的部分時域波形

如果我們FFT這個復合信號，那么，我們將得到其幅值和相位，如下圖所示。

圖2    2個正弦波的標準FFT

分析后的幅值分別為0.5和0.25，這是由于單邊譜的幅值是真實幅值的一半，有些商業軟件將會幅值加倍，在這不作加倍處理。在這個相位曲線中，我們看到在60Hz處，相位有270度的變化，在180Hz處，相位有45度的變化（從270度變化到315度）。顯然45度的變化是正常的，但為什么會有270度的變化呢？它應該是0度和45度，而不是270度和315度。原因是因為傅立葉分析使用余弦，不是正弦，作為實部。一個正弦信號變成余弦信號，相位有-90度或+270度的移動。換句話說，這個信號是個余弦信號，不是一個正弦信號。

以上分析都是基本的信號分析?，F在假設我們有一根旋轉軸，測量這根軸的振動。旋轉物體的本質特點是振動出現在轉速的倍數或者約數處。譬如，如果軸的轉速為3600rpm，頻率為60Hz，那么，我們將會看到響應出現在這個頻率的倍數處。這個倍數就是階次。第一階的頻率等于轉頻，在這個例子中，第一階是60Hz，第3階是3*60=180Hz。階次OR、轉速R（rpm）和頻率f的關系如下

f=OR*(R/60)

為什么要使用階次？這是因為階次對轉速保持不變。第一階次始終是轉頻，第二階次始終是2倍的轉頻，等等。替代等時間采樣，采樣將按等角度方式進行，這種采樣方式稱為同步采樣，采樣與軸轉速同步。假設在軸上固定了一個齒輪盤，等時間采樣以時鐘脈沖數進行模數轉換，同步采樣以每個齒上的脈沖數進行等角度采樣，且速率為每圈P個樣本點。

我們現有的數據是以圈為計量單位，而不是以秒為計量單位。如果采用傅立葉轉換這個數據，那么我們再次得到頻率類型的函數，但它的增量不再是Hz，而是階次。分析結果給出了幅值和相位，但它們是階次的函數，不是Hz的函數。

獲得階次不需要同步采樣，因為可以使用以Hz表示的頻率f，階次數OR，和轉速R之間的關系。這個過程是用FFT分析時域信號，用轉速將以Hz表示的頻率轉換成以階次表示的頻率。對于恒定轉速，這個轉換是沒有問題的。但是如果在整個FFT分析時間長度上，轉速是變化的，那么將得到不正確的結果。也不可能以Hz表示的頻率剛好完全映射成整數值的階次。這就意味著要分組一些階次線才能形成一個RMS值。

因此，處理旋轉機械的信號優先使用同步采樣，但遺憾的是，現實中執行同步采樣是相當困難的。對于一些數據采集設備，是不可能進行同步采樣的，像?-Δ類型的ADC必須按等時間步長進行采樣。連續近似的ADC不受這個限制。這并不總是具有現實意義，因為通常很難得到一個可靠的每轉一個脈沖的轉速，更別說每轉N個脈沖了。

解決方案是使用信號處理去數字化重采樣數據。再次，我們注意到香農采樣定理的含義，也就是說我們采樣的速率至少要兩倍于出現的最高頻率，這樣我們才有信號的所有信息。使用正確的信號處理算法，我們可以將原始的等時間采樣得到的數據重采樣成等角度方式的數據。不涉及這方面的理論和相關方程，只需要注意的是重采樣是基于（sinx/x）函數。這個函數稱為sinc函數。使用這個重采樣算法只是去改變采樣速率。當重采樣到等角度方式時，顯然每轉一個脈沖的轉速信號是需要的，這個轉速信號將提供時間與總“角度”之間的關系。

使用每轉一個脈沖的轉速信號將常規的時間序列信號轉換成同步的時間序列。我們對之前圖1所示的復合正弦信號進行重采樣。一個轉速信號匹配60Hz的頻率分量，第一階次等于60Hz的信號。每圈采樣32個數據點。一個新的同步信號如圖3所示，看起來與之前的等時間采樣數據相同，除了橫軸現在是用總的角度來表示之外。

圖3    同步采樣兩個正弦波

同步采樣的信號的FFT結果如圖4所示。

圖4 同步信號的FFT結果

這跟之前的等時間采樣的FFT結果相同，與預期一樣，除了橫軸現在是用階次標識，不再是Hz之外。兩個響應剛好位于1階次和3階次處，與預期相同。

更復雜的信號如圖5所示，這是車輛穩態運行下的信號。顯然在這個信號中存在“拍”現象。車速不穩定，因此，如果在時域分析這個信號，那么幅值將拖尾到一些頻率成分上。

圖5  同步采樣汽車振動信號

圖6表明階次分析給出了非常清晰的結果，能量主要集中在第一階次，還有一些邊頻帶，在第二和第三階次上也存在少量貢獻。

圖6 汽車信號的階次分析

更能揭示實情的信號是分析簡單的正弦掃頻信號，如圖7所示。

圖7  正弦掃頻從30Hz到100Hz

如果我們分析這個信號，按常規的時間歷程來分析，那么，我們將得到30Hz到100Hz的頻譜如圖8所示。

圖8  正弦掃頻的FFT結果

現在如果我們同步采樣這個正弦掃頻信號，按每轉一個脈沖進行，然后進行頻域分析，得到同步的信號如圖9所示。

圖9  同步采樣的正弦掃頻

整個信號完全集中在第一階次，幅值是半幅值，相位跳動270度。如果我們觀察同步采樣的信號，如圖10所示，那么“正弦掃頻”的信號現在恰好是一個“單頻正弦波”。我們每轉采樣的數據點不變，改變的只是速度。

圖10  同步正弦掃頻信號的階次分析

在同步采樣的同時，會另外保留時間-角度曲線信號，因此，沒有信息丟失。這個信號如圖11所示。

圖11    時間-角度信號

因為掃頻的速率是個常數，因此，時間-角度曲線關系是時間=K*sqrt(角度)。

文章來源：模態空間